Was ist ein Raum?

Mein mathematisches Spezialgebiet heißt Topologie, also Lehre vom Topos. Das Wort „Topos“ begegnet uns zum ersten Mal bei Aischylos in der Bedeutung von „Platz, Gebiet, Region, Distrikt“. Eine sinnvolle Übersetzung von Topologie, die im engeren Sinne eine junge Wissenschaft ist, ist „Lehre vom Raum“.

Zur Zeit der Griechen hätte man die Frage wohl etwas anders formuliert, nämlich: Was ist der Raum? Wenn man nämlich von dem Raum spricht, so betont man, dass der Raum etwas unabhängig vom Menschen Existierendes, Festes, Bestimmtes ist. Ich zitiere aus dem Buch des berühmten Mathematikers Herman Weyl „Raum, Zeit, Materie“ von 1918:

Die Klarheit und Sicherheit der Wissenschaft vom Raum wird am eindrucksvollsten durch die Euklidische Geometrie demonstriert, in der ein sehr einfaches und ästhetisch befriedigendes Axiomen-System beschrieben wird, das ein eindeutiges mathematisches Bild einer Gerade, einer Ebene, eines Raumes festlegt. Über Jahrhunderte haben sich alle Wissenschaften an der Geometrie orientiert. Es könnte – wie Weyl schreibt – „als das höchste Ideal aller Wissenschaften aufgestellt werden, „more geometrico betrieben zu werden“ . Mit dem zu Ende gehenden Mittelalter wuchs der Skeptizismus und stellte schließlich auch den naiven Realismus von unabhängig von den Betrachtern existierenden „Dingen an sich“ in Frage. Galilei betont zum Beispiel die Subjektivität von Sinnesqualitäten. Im Bereich der Philosophie war es Immanuel Kant, der einen radikalen Schritt mit der Einsicht vollzog, dass nicht nur die sinnlichen Qualitäten (beispielsweise Farben), sondern auch „der Raum nur eine Form unserer Anschauung“ ist (Weyl).

Mit Kant wird der Raum von einem außer uns existierenden „Ding an sich“ zum Anschauungsraum. Das heißt natürlich nicht, dass der Raum damit völlig beliebig ist und wir ihn uns vorstellen können, wie wir wollen. Unsere jeweilige Anschauung, unsere jeweilige Erkenntnis vom Raum ist durchdrungen von einer scheinbaren Apriorität, was sich innerhalb der Mathematik in der großen Überzeugungskraft geometrischer Sätze widerspiegelt. Aber, so müssen wir rückblickend auf den ungeheuren Wandel der Anschauung und Erkenntnis vom Raum sagen, unsere jeweilige Anschauung und Erkenntnis. Und wenn ich vom Raum spreche, so sollte ich auch ihm das Attribut „jeweilig“ zuordnen und meine, wenn ich doch wieder kurz von Raum spreche, jeweils den jeweiligen Raum. Damit wird der Raum selbst ein geschichtliches Ding, etwas, das sich mit seiner Anschauung im Lauf der Zeit ändert.

Auf Grund dieser Überlegungen müsste der Titel dieses Artikels vielleicht korrekter lauten: „Was ist heute ein Raum?“, wobei das „heute“ auf die veränderliche Anschauung zielt, und das „ein“ auf die Vielfalt der Anschauung. Beide Begriffe unterstreichen die Vorläufigkeit aller Raumvorstellungen.

Der moderne Raumbegriff

Ich stelle im Folgenden den mathematischen Raumbegriff vor, der von Bernhard Riemann ausging, und durch die Relativitätstheorie sozusagen mit der Wirklichkeit fest verbunden wurde. Riemanns berühmter Habilitationsvortrag aus dem Jahre 1854 trägt den Titel „Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen“. Dies ist kühn, denn bis kurz vor Riemann schien das Gebäude der euklidischen Geometrie der Weisheit letzter Schluss zu sein und wurde durch die Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien durch János Bolyai, Carl Friedrich Gauß und Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij zwar erschüttert, aber im Geiste nicht wirklich über den Haufen geworfen. Dass Riemann von dem Raum spricht, könnte ein Hinweis darauf sein, dass Riemann noch der Vorstellung eines absoluten Raumes anhängt, aber die oben angedeutete erkenntnistheoretische Revolution spiegelt sich in dem Wort „Hypothesen“ wider.

Es ist interessant festzustellen, dass dieser innerhalb der Mathematik vollzogene kühne Schritt rund 60 Jahre später durch Albert Einstein in der Physik in ähnlicher Weise vollzogen wurde, wobei besonders in der allgemeinen Relativitätstheorie der Riemann'sche Raumbegriff eine zentrale Rolle spielt. Leser, die sich mit der Relativitätstheorie beschäftigt haben, werden bei den folgenden Darstellungen erstaunliche Parallelen wiederfinden.

Ich gehe bei der Herleitung des Raumbegriffes nach folgendem Grundprinzip vor. Ins Zentrum rücke ich einen Teilaspekt des Anschauungsraumes, der unserer Anschauung nach derzeitiger Kenntnislage besonders entspricht. Dann formuliere ich zwei plausibel klingende Postulate und diskutiere anschließend, was man über den so definierten, so „angeschauten“ Raum aussagen kann.

Der Teilaspekt ist die lokale Anschauung des Raumes: Wo immer ich mich im Raum aufhalte, überblicke ich einen Teil des Raumes, welchen ich mathematisch so beschreiben kann: Ich nehme drei Zollstöcke, welche jeweils von minus 1 bis 1 skaliert sind, und bilde daraus ein paarweise senkrechtes Achsenkreuz. Meine Anschauung sagt mir, dass der von diesen drei Achsen aufgespannte offene Würfel mathematisch durch je drei Zahlen (x1; x2; x3 ) zwischen minus 1 und 1 beschrieben wird. Denn ein Punkt im dem von den drei Achsen aufgespannten Würfel ist durch die drei Projektionen entlang der von jeweils zwei Achsen aufgespannten Ebenen auf die dazu senkrecht stehende dritte Achse völlig bestimmt. Die drei Zahlen (x1; x2; x3) nennt man Ortskoordinaten.

Es ist für das Folgende sehr wichtig, dass der Maßstab meiner drei Zollstöcke für diese Überlegung keine Rolle spielt, und auch, dass sie aufeinander senkrecht stehen, ist irrelevant. Es gibt nämlich keinen Grund zur Annahme, dass ich den Maßstab oder Winkel an verschiedenen Stellen des Raumes überhaupt vergleichen kann. Wichtig ist nur, dass in dem Bereich, den ich überschauen kann, ein Teilbereich enthalten ist, den ich durch einen offenen Würfel mathematisch beschreibe. Nun komme ich zum ersten Postulat, was ich das Demokratie- oder Gleichheitsprinzip oder mehr mathematisch gesprochen Homogenitätspostulat des Raumes nennen möchte: Die obige lokale Anschauung soll an jeder Stelle des Raumes gelten. Zum Beispiel soll es keine Stelle geben, wo der Raum wie eine Ebene aussieht, also durch nur zwei Parameter beschrieben werden kann. Obwohl jeder hier bestätigen wird, dass dieses Resultat mit seiner Erfahrung in Einklang steht, so bleibt es ein Postulat, was nicht durch unsere elementare Anschauung gedeckt ist. Es ist aber ein natürliches Postulat.

Schließlich komme ich zum zweiten Postulat, was ich die Glattheitsforderung nennen möchte. Da diese Forderung nicht ganz einfach zu präzisieren ist, möchte ich es an der anschaulicheren Frage illustrieren: „Was ist eine Fläche?“. Man denke dabei an den Versuch, einen mathematischen Begriff der Oberfläche eines festen Körpers zu entwickeln. Zum Beispiel denke man an die Erdoberfläche. In Analogie zum obigen Raumbegriff wird man verlangen, dass man jede Stelle einer Fläche durch ein Achsenkreuz aus zwei Achsen mathematisch beschreiben kann. Wieder fordert man das Gleichheitsprinzip. Um nun eine Fläche "in den Griff" zu kriegen, braucht man eine Schar von Achsenkreuzen, so dass jede Stelle der Fläche mindestens durch ein Achsenkreuz erfasst wird.

So etwas ist uns aus der Schule wohl bekannt, nämlich durch den Weltatlas. Dieser enthält die komplette Information der Erdoberfläche. Natürlich kommen gewisse Orte der Erde mehrfach in dem Atlas vor, zum Beispiel Heidelberg auf der Europakarte und auf der Deutschlandkarte.

Nun komme ich zur Glattheitsforderung. Ich lasse ein Auto durch die Gegend fahren und betrachte die entsprechende Bahn auf dem Atlas. Dann ist die Glattheitsforderung an meinen Atlas, dass die Kurve auf dem Atlas glatt ist, was mathematisch bedeutet, dass sie differenzierbar ist, und anschaulich, dass man an jeder Stelle von Tangenten an die Bahn sprechen kann. Entscheidend ist nun, dass diese Glattheit bei jeder Karte des Atlasses gesehen werden kann, also genauso bei der Europakarte wie bei der Deutschlandkarte. Die Glattheit ist also eine Forderung an meinen Atlas. Ein Atlas ist glatt, wenn eine Kurve, die ich in einer Karte betrachte, genau dann glatt ist, wenn die entsprechende Kurve in allen anderen Karten, wo sie auftaucht, wieder glatt ist.

Diese uns bei Flächen sinnvoll erscheinende Glattheitsforderung kann man analog für den Raum formulieren, wobei man wieder den Begriff eines Atlasses einführt und für diesen formuliert, was glatt bedeutet. Eine präzise Definition würde hier zu weit führen. Es sei allerdings darauf hingewiesen, dass erst das Glattheitspostulat erlaubt, reale Vorgänge bequem zu mathematisieren, also zum Beispiel die Bewegungsgesetze aufzustellen.

Wir fassen zusammen: Beim Riemann'schen Raumbegriff wird ein Raum durch die Forderung festgelegt, dass er an jeder Stelle durch drei Koordinaten beschrieben werden kann, wobei man ein System von Koordinaten auswählt, was erlaubt, von Glattheit zu sprechen, also insbesondere von glatten Kurven im Raum. In der Mathematik nennt man solche Räume dreidimensionale Mannigfaltigkeiten. Wir sind bei dieser Anschauung des Raumes von der Physik ausgegangen. Diese wird – wie das Leben allgemein – erst interessant durch Hinzunahme der Zeit und durch Betrachtung von Materie. Raum und Zeit bilden nach heutiger Auffassung selbst einen Raum, den wir uns als vierdimensionale Mannigfaltigkeit vorstellen. Bei der Füllung der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit mit Materie kommen Kräfte ins Spiel, welche wir uns als Felder vorstellen. Dies zu thematisieren würde hier zu weit führen.

Was wir über Räume wissen und was wir wissen wollen

Unsere mathematische Kenntnis über Räume ist einerseits riesig und andererseits wissen wir fast nichts. Dieser Satz wird den einen oder anderen Leser überraschen. Weiß man in der Mathematik nicht schon alles, werde ich oft gefragt. Es geht doch nur noch darum, Mathematik anzuwenden, wobei die Hauptarbeit dem Mathematiker inzwischen vom Computer abgenommen wird.

Ich will die Aussage, dass wir fast nichts wissen, durch eine der berühmtesten offenen mathematischen Fragen untermauern, der vor über 100 Jahren aufgestellten Poincaré-Vermutung. Diese Vermutung tauchte im letzten Jahr hier und da mal in der Presse, die sonst so gut wie nie über Mathematik berichtet, auf. Der Grund ist natürlich nicht, dass Journalisten ein ernsthaftes Interesse an Mathematik gefunden hätten. Der Grund ist, dass ein reicher amerikanischer Geschäftsmann eine Million Dollar für die Lösung dieser Vermutung ausgelobt hat. So etwas ist in der heutigen Zeit eine Meldung wert.

Wir haben versucht zu erläutern, was ein Raum ist. Nun schließt sich die Folgefrage ganz natürlich an: „Wie erkennt man einen Raum?“. Hintergrund dieser Frage ist, dass der Riemann'sche Raumbegriff im Unterschied zur euklidischen Geometrie keinen eindeutigen Raum auszeichnet. Er legt sozusagen eine Gattung fest, so wie die Biologen zahlreiche Gattungen definiert haben. Und wie die Biologen dann Stück für Stück immer neue Spezies innerhalb einer Gattung entdeckt haben, so haben die Mathematiker eine ungeheuer große Vielfalt von mathematischen Räumen entdeckt. Und damit stellt sich die gleiche Frage wie in der Biologie, nämlich, wie man an möglichst einfachen Merkmalen erkennen kann, um was für einen Raum es sich handelt.

Poincaré hat im Jahre 1895 ein Merkmal aufgestellt, an dem man einen der wichtigsten Räume erkennen soll, nämlich die dreidimensionale Sphäre. Es braucht eine beträchtliche Erfahrung, um sich diesen fundamentalen Raum vorzustellen, noch schwerer ist die Formulierung des Poincaré'schen Merkmales, auf die ich ganz verzichte. Es soll nur etwas zur Analogie bei Flächen gesagt werden. Es gab Zeiten, da hat man sich die Erdoberfläche als eine unendlich ausgedehnte Ebene vorgestellt, sozusagen als eine Fläche, bei der man aufpassen musste, nicht zu weit nach außen zu gehen, weil man sonst in die Gefahr geriete herunterzufallen. Diese Vorstellung ist überholt, wir wissen nun, dass die Erdoberfläche eine Fußballgestalt hat, mathematisch eine zweidimensionale Sphäre ist.

Beim physikalischen Raum (ohne Berücksichtigung der Zeit als vierter Dimension) kann man sich analog fragen, ob die naive Vorstellung, es handle sich um einen unendlich ausgedehnten Würfel (bei dem man sich auch hüten sollte, ans „Ende“ zu kommen) oder um einen mathematisch anders beschriebenen Raum handelt. Die nahe liegendste Alternative ist, in Analogie zur Erdoberfläche, die dreidimensionale Sphäre.

Die Poincaré-Vermutung gibt nun Merkmale an, wie man die dreidimensionale Sphäre erkennen kann. Trotz gewaltiger Bemühungen ist es bisher nicht gelungen, diese fundamentale Vermutung zu lösen. Es gibt aber ein bemerkenswertes Ergebnis des amerikanischen Mathematikers Richard Hamilton aus dem Jahre 1982, welches die Poincaré-Vermutung unter einer Zusatzannahme beweist. Auch bei diesem Ergebnis ist es nicht möglich, in diesem Rahmen eine präzise Formulierung zu geben. Aber es soll zumindest ein Stichwort genannt werden, unter dem man sich etwas vorstellen kann.

Hamilton fordert eine Krümmungsbedingung für den Raum, er soll nämlich in gewissem Sinne positiv gekrümmt sein. Krümmung kann man sich am besten bei Flächen vorstellen und da heißt positiv gekrümmt, dass man an jeder Stelle die Tangentialebene betrachtet und prüft, ob die Fläche in der Nähe der Stelle ganz auf einer Seite der Tangentialebene liegt. Zum Beispiel ist die Erdoberfläche positiv gekrümmt, während das bei der Fläche von Abbildung Nr. 2 nicht gilt.

Jeder hat gehört, dass der Begriff Krümmung bei der Relativitätstheorie eine fundamentale Rolle spielt. Es ist bemerkenswert, dass der Krümmungsbegriff auch bei dem Versuch, einen Raum zu erkennen, von großer Bedeutung ist.

Reine und angewandte Mathematik

Während die großen Mathematiker der Vergangenheit – man denke an den wohl größten Mathematiker aller Zeit, Carl Friedrich Gauß, der auf allen Gebieten der Mathematik gearbeitet und all diese Gebiete miteinander verwoben hat – diese Unterscheidung nicht kannten, hat sie sich seit einiger Zeit durchgesetzt. Ich finde dies unsachgemäß. Nun könnte man das als unwesentliche Etikettierung ansehen, wenn nicht die Tendenz stark zunehmen würde, Wissenschaft an erhofften Nutzen zu binden. Wenn Politiker heute von Wissenschaft reden, meinen sie häufig wohl eigentlich „Nutzenschaft“. Wenn ich mich gegen diese Tendenz wende, so in erster Linie, weil das Auseinanderdividieren und die in der Folge festzustellende einseitige Verlagerung von Forschungsaktivitäten zur Folge haben wird, dass nur der kurzfristige Erfolg gesucht wird. Historisch war es aber so, dass fast alle wissenschaftliche Erkenntnis, von der wir heute profitieren, um des Schaffens von Wissen willen erforscht wurde.

Spannende Wissenschaft – und nur solche findet das Interesse großer Forscher – birgt fast immer das Potenzial für spätere Anwendungen, es kann allerdings – wie die Entwicklung des Raumbegriffes zeigt – sehr lange dauern, bisweilen Hunderte von Jahren. Ohne den Riemann'schen Raumbegriff gäbe es keine allgemeine Relativitätstheorie, die ihrerseits nicht nur für die Grundlagenforschung relevant ist, sondern zahlreiche andere physikalische Entwicklungen angestoßen hat. Dies hat auch zu technischen Revolutionen geführt, welche Eingang in unseren Alltag gefunden haben. Zu diesen Bemerkungen passt das folgende Zitat aus einem Brief von Albert Einstein an Arnold Sommerfeld aus dem Jahre 1912, also etwa 60 Jahre nach Riemanns Habilitationsvortrag, in dem er seine Bemühungen, die Riemann'sche Geometrie zu lernen, kommentiert: „Aber eines ist sicher, dass ich mich im Leben noch nicht annähend so geplagt habe und dass ich große Hochachtung vor der Mathematik eingeflößt bekommen habe, die ich bis jetzt in ihren subtileren Teilen in meiner Einfalt für puren Luxus gehalten habe!“ Ich möchte mit einer Frage an den Leser schließen: Ist das Studium der Raumfrage reine oder angewandte Mathematik? Meine Antwort ist: Es ist Mathematik, und zwar äußerst spannende.

Der Artikel ist erstmals in der Publikation „Rupertao Carola“ der Universität Heidelberg erschienen: http://www.uni-heidelberg.de/presse/ruca/ruca2_2001/kreck.html